Решение начально-краевых задач математической физики на основе формулы Котельникова 

Олег Эмануилович Яремко, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики, Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (Россия, г. Москва, Вадковский пер., 1), yaremki@mail.ru
Наталия Николаевна Яремко, доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры математического образования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), yaremki@yandex.ru 

517.44+621.391

DOI

10.21685/2072-3040-2021-3-6 

Актуальность и цели. Численные методы решения дифференциальных уравнений – актуальная проблема прикладной математики. Работа посвящена численно-аналитическим методам второго и третьего порядка точности, основанным на аппроксимации нелинейных дифференциальных уравнений кусочно-линейными. Материалы и методы. Метод интегральных преобразований для решения уравнений математической физики дополнен методом разложения сигнала в ряд по формуле Котельникова. Методы аналитического продолжения и интегрального преобразования Гильберта послужили основой для описания аналитических сигналов. Результаты. Предлагается новый аналитический метод решения задач математической физики, представляющий синтез метода интегрального преобразования Фурье и разложения в ряд Котельникова. Предложен алгоритм: найти образ Фурье начально-краевых данных, найденный образ разложить в ряд Фурье, вернуться к оригиналу. Предложенный алгоритм реализуется в предположении ограниченности носителя образа Фурье. Таким образом, получаем дискретные аналоги интегральных формул Пуассона для решения задачи Коши и задачи Дирихле. Получен дискретный аналог формул Коши и Шварца для функции аналитической в полуплоскости. Выводы. Предложенные методы могут быть полезны при создании новых численных методов решения задач Коши и Дирихле. 

Ключевые слова

формула Котельникова, преобразование Фурье, задача Коши, задача Дирихле, преобразование Гильберта, аналитический сигнал

 Скачать статью в формате PDF

1. Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук. 2006. № 7. С. 762–770.
2. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор // Труды Института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1977. Т. 65, № 11. С. 53–89.
3. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера – Котельникова – Шеннона. М. : Радиотехника, 2004. 72 с.
4. Shannon C. E. Communication in the presence of noise // Proc. Institute of Radio Engineers. 1949. Vol. 37, № 1. P. 10–21.
5. Marks R. J. Handbook of Fourier Analysis and Its Applications. Oxford : Oxford University Press, 2009. 800 с.
6. Brandwood D. Fourier Transforms in Radar and Signal Processing. Boston : Artech House, 2003. 213 p.
7. King Fr. W. Hilbert Transforms. Cambridge : Cambridge University Press, 2009.
8. Smith J. O. Analytic Signals and Hilbert Transform Filters, in Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) with Audio Applications. W3K Publishing, 2007.
9. Titchmarsh E. Introduction to the theory of Fourier integrals. 2nd ed. Oxford : Clarendon Press, 1986. 395 p.
10. Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. 269 p.
11. Smith J. O. Analytic Signals and Hilbert Transform Filters, in Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) with Audio Applications. Second Edition. 2007. URL: https://www.dsprelated.com
12. Yanushauskas A. Dirichlet problem, Encyclopedia of Mathematics. EMS Press, 2001.
13. Taylor M. E. Partial differential equations I. Basic theory, Applied Mathematical Sciences. 2nd ed. Springer, 2011. 563 p.
14. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики // Дифференциальные уравнения. М. : Физматлит, 2005.
15. Hörmander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer, 1983. 537 p.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М. : Наука, 1970. 324 c.
17. Saff E. B., Snider A. D. Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering. Second Edition. Prentice Hall, 1993. 521 p.
18. Tikhonov A. N., Arsenin, V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems. New York : Winston, 1977. 258 p.
19. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 285 с.